고장전류계산

[참고 자료]/전기, 전력 일반

고장전류계산

凡石 2009. 5. 5. 23:29

고장전류계산

1. 대칭좌표법

  3상 단락고장처럼 각 상이 평형된 고장에서는 고장점을 중심으로 여기에 걸리는 전압과 임피던스를 구해서 쉽게 해석해 나갈 수 있다. 그러나, 각 상이 불평형되는 1선지락과 같은 불평형고장에서는 각 상에 걸리는 전압을 따로따로 구하여야 하는데 실제적으로는 이것이 그렇게 쉬운 일이 아니어서 다음에 설명하는 대칭좌표법을 빌리지 않고서는 3상회로의 불평형 문제를 다룰 수 없다.
  대칭좌표법이란 한 마디로 말해서 3상회로의 불평형문제를 푸는데 사용되는 수학이라고 할 수 있다. 이것은 불평형인 전류나 전압을 그대로 취급하지 않고 일단 그것을 대칭적인 3개의 성분으로 나누어서 각각의 대칭분이 단독으로 존재하는 경우의 계산을 3번 실시한 다음 마지막에 그들 각 성분의 계산결과를 중첩시켜서 실제의 불평형인 값을 알고자 하는 방법이다.
  그러므로, 계산 도중은 언제나 평형회로의 계산만 하게 되는 것이고 각 성분의 계산이 끝난 다음 이들을 중첩함으로써 비로소 불평형문제의 해가 얻어지게 되는 것이다. 대칭좌표법을 이용한 해석법의 개념도는 다음과 같다.

1.1. 대칭분전류
(그림.1)과 같이 선로정수가 평형된 3상회로에 임의의 불평형 3상교류 , , 가 흐르면, a상의 전류 를 기준으로 해서 다음과 같은 대칭성분으로 나타낼 수 있다.

〈그림.1〉3상회로와 불평형전류

.......................

(1)

      여기서 는 Vector 연산자로서
      임
  은 각각 벡터이기 때문에 가령 처럼 를 곱한다는 것은 라는 전류의 위상을 120°만큼 앞서게 한다는 것이고 을 곱하면 그 전류를 240°만큼 앞서게 한다는 것이다.
  그러므로 가 제아무리 불평형된 전류이더라도 이것이 주어지면 여기에 등을 곱해서 식(1)에 따라 라는 전류를 쉽게 구할 수 있다.
  식(1)과는 반대로 만일 라는 가상적인 전류가 주어졌을 경우, 실제로 회로에 흐르고 있는 전류 는 어떻게 될 것인가는 식(1)의 연립방장식을 직접 풀어서 얻을 수 있겠지만 한편
              ,
이라는 관계를 적용해서 풀면

...........................

(2)

로 산출된다. 즉, 이 결과로부터 알 수 있듯이 당초의 불평형 3상전류 는 각각 평형된 3개의 성분 로 구성되고 있다.
이 중 제1성분인 는 (그림.2〉에 나타낸 바와 같이 같은 크기와 위상각을 가진 평형단상전류이므로 영상전류(zero phase current)라 부른다. 이 전류는 지락고장시 접지계전기를 동작시키는 전류이지만 한편 통신선에 대해서 전자유도장해를 일으키는 전류이기도 하다.

〈그림.2〉

  제2성분인 은 각 상 가운데 이라는 형태로 된 평형3상교류로서 전원과 동일한 상회전 방향으로 포함되어 있기 때문에 정상전류(positive phase current)라고 부른다. 이 전류가 전동기에 흐르면 회전력을 주게 된다.
  제3성분인 는 과 상회전이 역(逆)인 3상 평형전류로서 포함되므로 역상전류(negative phase current)라고 부른다. 이 전류가 전동기에 흐르면 제동작용을 해서 그만큼 전동기의 출력을 감소시킨다. 이처럼 3상회로의 전류는 그것이 제아무리 불평형인 것이더라도 각각은 3개의 평형된 대칭성분으로 이루어지고 있다는 것이 바로 대칭좌표법의 기본인 것이다.
  이상은 전류에 대한 것으로서 전압에 대해서도 마찬가지로 대칭분으로 표현할 수가 있다. 즉, 불평형 3상전압을 라 하면 (3), (4)식과 같이 쓸 수 있다.

..........................

(3)

............................

(4)

〈사례연구〉, , 가 3상 평형전류이면 임을 확인하시오.

2. 발전기의 기본식

(그림 3)과 같이 3상교류발전기에 불평형전류 , , 가 흐를 때 각 상의 전압강하 는 (5)식으로 표시되며,

........................

(5)

여기서 비례상수 를 각각 발전기의 영상, 정상, 역상 임피던스라고 한다. 를 각 상의 유기기전력, 를 각 상의 단자전압이라고 하면 (6)식과 같은 관계가 있고 대칭분으로 바꾸어 쓰면 (7)식과 같다.

.........................

(6)

........

(7)

(7)식과 (5)식에서

..............................

(8)

여기서 3상 교류발전기의 유기기전력은 3상대칭이므로 는 영이다. 따라서 (8)식은 (9)식으로

.........................

(9)

바꾸어 쓸 수 있으며 이것을 발전기의 기본식이라 한다.
(9)식을 그림으로 나타내면 (그림 4)와 같다.

(그림 4)

  (그림 4)의 (a)는 영상회로로서 발전기 단자측에서 보면 영상임피던스는 발전기를 무여자 규정속도로 회전하고 A, B, C의 3단자를 일괄해서 이것과 대지 사이에 영상전압 V₀를 가한 경우의 1선당 임피던스이고 이때 흐르는 전류가 영상전류이다. 그림 (b)는 정상회로로서 정상임피던스는 보통의 동기임피던스가 되며 이것은 발전기의 누설임피던스 외에 전기자반작용(Armature reaction)에 의한 리액턴스가 가산되므로 누설임피던스의 3∼4배가 된다. 그러나 고장시 같은 과도상태에서는 전기자반작용이 나타나지 않으므로 고장순간에는 가 된다.
  그림(c)는 역상회로로서 단자측에서 본 역상임피던스는 발전기를 무여자 규정속도로 회전하고 a, b, c 3단자에 외부에서 상회전 방향이 반대인 역상전압 를 가한 경우의 임피던스이고 이때 흐르는 전류가 역상전류가 된다.
  (그림 4)의 (a)에서 발전기의 중성점이 직접접지 되지 않고 Impedance 으로 접지되었다면 로 되며 (9)식 중에서 이 된다

3. 간단한 고장계산(故障計算)
  3.1 삼상단락고장
    (그림 5)와 같이 발전기단자에서 3상단락이 생기면 발전기의 각 상전압은 0이므로 (9)식과
        ...................... (10)
의 조건식을 연립해서 풀면 된다.

....... (11)
    따라서
      .......................(12)
    이것을 (9)식에 대입하면
       ......................(13)
    즉, 3상단락 고장시에는 내부 유기전압을 정상임피던스로 나눈 정상전류가 흐르며, 역상분과 영상분 전류는 흐르지 않는다.

나. 2선단락사고
(그림 6)의 (a)와 같이 B, C 상이 단락된 경우

의 조건이 성립되므로 이관계를 대칭분으로 나타내면

................

(14)

따라서 ................... (15)
(15)식과 (9)식에서 다음의 관계를 얻는다.

.....................

(16)

또,

...............

(17)

각 상의 전류와 전압을 구하면,

..............

(18)

고장시
...............(19)

즉, 3상 단락전류의 86.6 %가 된다.

다. 1선 지락사고
(그림 7)의 (a)와 같이 A상 지락의 경우를 생각하면

(그림 7)

(20)식을 대칭분으로 바꾸어 쓰면

........................

(21)

           ∴ 가 되며 이것을 (21)식에 대입하면
            .................... (22)
  또, 이므로 (9)식에서
        ........... (23)
       이므로 (23)식과 (22)식에서
        ....................... (24)
  전압에 대하여는 (9)식과 (24)식에서

........................

(25)

따라서, 는

........ (26)

  라. 2선 지락사고
    (그림 8)과 같이 B, C상에 지락사고가 발생하면,
     로 된다.

  대칭분으로 쓰면,
         ...............(27)
         ∴.......... (28)
  (28)식과 (29)식에서

............

(29)

한편 이므로

......................

(30)

또, 이므로

............

(31)

4. 배전선로의 고장전류 계산

  가. %임피던스법
    (1) %임피던스와 BASE KVA
      (가) 보통 전기적계산에는 Ohm법을 사용하여 전압을 V, 전류를 A, 전력을 kVA, 그리고 임피던스를 Ω의 단위로 표시하여 본래의 양대로 계산하고 있으나 전력계통의 고장계산에는 % 임피던스법이 일반적으로 사용되고 있다.
% 임피던스란 어떤 임피던스 Z(Ω)가 있을 때 선간전압을 V (KV), 3상용량을 P(KVA)이고 전류 I ( = )가 Z에 흐를 때 전압강하 ZI(V)를 상전압 (V)의 100분율로 표시한 것이다.

즉, %Z = .................. (1)

(2) 또, 전압과 전류에 어떤 기준량을 취하면 전력과 임피던스의 기준량은 자동 적으로 정해진다. 따라서 기준전압(KV), 기준전류(A)를 어떤 값으로 정하면 기준전력과 기준임피던스는 다음과 같이 표시할 수 있다.

기준전력 = 기준전압 × 기준전류

기준임피던스 = ..............(2)

여기서 Z (Ω)를 기준임피던스에 대한 %로 표시하면 다음과 같다.

................ (3)

따라서 3상 기준전력을 (KVA)로, 기준선간전압을 (KV)로 표시하면 다음과 같은 관계식이 성립된다.

기준전류(A) = ............... (4)

기준임피던스(Ω) = .................. (5)

∴ %Z =

.................. (6)

일반적으로 송배전계통의 고장계산에서는 기준전력을 100MVA로 택하고 있다.

따라서 100MVA를 기준으로 하여 22.9 KV-y 계통을 예로 든다면 다음과 같으며 전압별 기준전류와 기준임피던스는 〈표 1〉과 같다.

■ 22.9 KV-y의 기준전류

[기준 I] = = = 2,521.1

■ 22.9 KV-y의 기준임피던스

[기준 Z] =

                  =
  따라서,
    기준%임피던스 = =

즉, 22.9 KV-y에서 1Ω은 100MVA 기준으로 환산하면 19.1 %이다.

<표 1〉 전압별 100MVA기준 변환계수

기 준 전 압 (KV)	기 준 전 류 (A)	기준임피던스 (1Ω당 %)
3.3 5.7 6 11.4 22.0 22.9	17,496 10,129 8,748 5,064 2,624 2,521	918.3 307.8 229.6 76.95 20.7 19.1

(2) 고장계산에 따른 임피던스
배전선로의 고장계산에 관련되는 임피던스에는 계통임피던스와 변압기의 임피던스 및 선로 임피던스가 고려되며 지락고장시에는 지락저항도 고려해야 한다.

■ 계통임피던스
선로의 임피던스에 비하여 적은 값이므로 보통 무시하는 것이 통례이나 필요에 따라서는 고려해야 한다. 또, 계통임피던스 값은 계통 상황에 따라 늘 변하므로 규정할 수 없으며 매년 100MVA 기준으로 계산하여 제시되고 있다.

      ■ 변압기 임피던스
         변압기 임피던스 계산은 다음과 같다.
        (가) 저항분은 무시한다.
        (나) %리액턴스는 변압기 명판에 기재된 수치를 100MVA 기준으로 환산하여야 하며 정상, 역상, 영상 리액턴스 값이 동일한 것으로 보고 계산한다.

〈사례연구〉30MVA 변압기의 %Z가 10%일 때 100MVA로 환산한 값을 계산하시오.

(다) 3권선변압기에서 각 권선의 용량이 서로 다를 때는 적은 용량의 권선을 기준으로 한다.
(라) V결선 변압기는 각 상의 리액턴스가 동일하지는 않지만 △결선으로 간주하고 계산한다.

〈사례연구〉단상 10,000KVA 변압기 2대를 V결선 했을 때 대당 %임피던스를 10%라 하면 100MVA 기준으로 환산하면 어떻게 되는가?

(마) %리액턴스 값이 서로 다른 단상 변압기를 조합했을 때는 그 중에서 최소치를 적용한다.
(바) 변압기의 %리액턴스 값을 알 수 없을 때는 다음 〈표 2〉의 표준값을 적용한다.

공칭전압(KV)	140 ∼ 100	70 ∼ 30	20∼10	6∼3
%리액턴스(%)	10	7	5	3

■ 선로 임피던스
배전선로에서 전압별, 선종별로 단위km당 100MVA 기준의 정상, 역상, 영상 임피던스는 〈표 3〉, 〈표 4〉를 참조한다. 단, 선로에서 정상임피던스와 역상임피던스 값은 동일한 것으로 보고 계산한다.

〈표 3〉22.9 kV-y 다중접지선로의 정상(역상) 임피던스

전 압

11.4 kV

22.9 kV

임피던스

선 종

(% / ㎞)

X1, X2 ( % / ㎞ )

(% / ㎞)

X1, X2 ( % / ㎞ )

1,800완철

1회선용

D = 1,008

2,400 완철

1회선용

D = 1,008

1,800완철

1회선용

D = 1,008

2,400 완철

1회선용

D = 1,008

ACSR 160 ㎟

ACSR 95 ㎟

ACSR 58 ㎟

ACSR 32 ㎟

HDCC 100 ㎟

HDCC 60 ㎟

HDCC 38 ㎟

HDCC 22 ㎟

15.59

31.13

53.55

94.67

14.49

26.20

41.36

70.33

28.56

35.87

38.18

38.70

30.76

32.84

34.16

35.63

29.95

37.27

39.58

40.10

32.16

34.24

35.56

37.03

3.86

7.71

13.27

23.46

3.59

6.49

10.25

17.43

6.98

8.80

9.46

9.59

7.62

8.14

8.47

8.83

7.42

9.24

9.81

9.94

7.97

8.49

8.81

9.18

〈표 4〉22.9 kV-y 다중접지선로의 영상임피던스

전력선

중성선

HDCC

100 ㎟

HDCC

60 ㎟

HDCC

38 ㎟

HDCC

22 ㎟

ACSR

160 ㎟

ACSR

95 ㎟

ACSR

58 ㎟

ACSR

32 ㎟

HDCC 38

10.88

+ j24.11

13.79

+j24.62

17.54

+j24.95

24.72

+j25.31

11.16

+j23.56

15.01

+j25.37

28.57

+j25.95

30.76

+j26.07

HDCC 22

12.25

+ j27.23

15.15

+27.74

18.91

+j28.07

26.09

+j28.43

12.52

+j26.68

16.47

+j28.49

21.93

+j29.07

32.12

+j29.19

ACSR 160

7.73

+j20.69

10.63

+j21.21

14.39

+j21.54

21.57

+j21.90

8.00

+j20.15

11.85

+j21.96

17.41

+j22.54

27.60

+j22.66

ACSR 95

9.60

+j23.23

12.51

+j23.75

16.26

+j24.07

23.44

+j24.44

9.87

+j22.68

13.73

+j24.50

19.28

+j25.07

29.47

+j25.20

ACSR 58

11.35

+j25.69

14.25

+j26.20

18.01

+j26.53

25.19

+26.89

11.62

+j25.14

15.47

+j26.96

21.03

+j27.53

31.22

+j27.66

ACSR 32

12.24

+j29.20

15.14

+j29.72

18.89

+j30.04

26.08

+j30.41

12.51

+j28.65

16.36

+j30.47

21.92

+j31.04

32.11

+j31.17

※ 2,400㎜ 완철 사용시를 기준으로 한 값이며, 단상구간은 상기값의 61%, 2상구간은 상기값의 80%를 중성선이 없는 3상구간은 상기값의 156%를 적용함.

    (3) 3상단락전류 계산
       계통의 동일지점에서 3상이 단락되는 고장은 다음 그림과 같다.
                (1) Y 계통                             (2) △계통

이때 고장전류는 회로 전체의 임피던스에 반비례하면 그 계산식은 다음과 같다.

..................... (7)

      단, 여기에서
         3상단락 고장전류 (A)
        고장회로의 정상 %임피던스 (100MVA 기준) (%)
        .................... (8)

                   : 계통의 % 임피던스 (100MVA 기준)
                   : 변압기 % 임피던스 (100MVA 기준)
                  : 선로의 정상 % 임피던스 (100MVA 기준)
                   V : 선간전압 (KV)

    (4) 선간단락 고장전류 계산
        3상계통에서 선간단락 상태에서의 고장으로서 다음 그림과 같다.
                  (1) Y 계통                     (2) △계통

  이 때의 고장전류는 3상단락과 같이 정상분 전류만 흐르고 다음과 같이 계산한다.
  (단, )


             (A) ................. (9)

    단, 여기에서

         기타는 3상 단락전류 계산과 동일함.

(5) 1선지락 고장전류의 계산
(가) 접지계통에서의 지락고장은 다음 그림과 같다.

① 중성선과의 혼촉 ② 지락고장

즉, 3상4선식 접지계통에서 1선지락고장은 다중접지된 중성선과의 혼촉인 경우와 지락인 경우가 있다.
이 때의 고장전류 계산식은 다음과 같다.

..................(10)

        단, 여기에서
           1선지락전류 (A)
            선간전압 (KV)
            : 고장회로의 정상, 역상, 영상 %임피던스 (100MVA기준)

............................

(14)

        고장점의 고장저항치로서 100MVA 기준으로 환산한 % 임피던스 (%)
      단, 의 값은 고장전류 계산의 필요에 따라 각각 기준치를 적용해야 한다.
      즉, 유도전압 계산시 또는 보호협조 검토시는 그 기준치가 각각 상이하므로 주의를 요한다.

      (나) 비접지계통에서의 1선지락고장은 다음과 같다.

  3상 배전선에서 각 상의 대지정전용량이 같다고 본다.
  즉,
  따라서 1선지락전류는 다음과 같이 계산하여 Ohm법으로 계산한다.

................................. (12)

          단, 여기서
             : 1선지락전류 (A)
             V : 선간전압 (KV)
             R : 지락점의 지락저항 (Ω)
             W : 2πf = 3 × 3.14 × 60
             : 각 상의 대지정전용량 (㎌)

  는 당 다음 식으로 계산한다.